Question

3．已知函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（3+x）+{log_{\frac{1}{2}}}（3-x）$．
（Ⅰ） 求f（1）的值；
（Ⅱ） 判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（Ⅲ）若f（2x）＞0，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （I）将x=1代入f（x）计算；
（II）先判断定义域是否关于原点对称，再化简f（-x），判断f（-x）与f（x）的关系；
（III）利用函数的单调性和定义域列出不等式组解出．

解答 解：（Ⅰ）f（1）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$4+log${\;}_{\frac{1}{2}}$2=-2-1=-3．
（Ⅱ） 函数f（x）是偶函数．
证明：由函数有意义得$\left\{\begin{array}{l}3+x＞0\\ 3-x＞0\end{array}\right.$，解得-3＜x＜3，
∴函数f（x）的定义域为{x|-3＜x＜3}．
∵f（-x）=${log_{\frac{1}{2}}}（3-x）+{log_{\frac{1}{2}}}（3+x）$=f（x），
∴函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（3+x）+{log_{\frac{1}{2}}}（3-x）$是偶函数．
（Ⅲ） 由f（2x）＞0可得 ${log_{\frac{1}{2}}}（9-{（2x）^2}）＞{log_{\frac{1}{2}}}1$．
∴$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}-3＜2x＜3\\ 9-{（2x）^2}＜1\end{array}\right.\end{array}$，解得$-\frac{3}{2}＜x＜-\sqrt{2}$，或 $\sqrt{2}＜x＜\frac{3}{2}$．
∴x的取值范围是（-$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 问题考查了对数运算，对数函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．