Question

13．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，-1），离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设运动直线l：y=kx+$\frac{3}{2}$（k≠0）与椭圆E相交于M、N两点，线段MN的中点为P，若AP⊥MN，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得b=1，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，由此能求出椭圆E的方程．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，得$（1+3{k}^{2}）{x}^{2}+9kx+\frac{15}{4}$=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、直线垂直的性质，结合已知条件能求出k．

解答 解：（1）∵椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，-1），离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴b=1，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵a²=b²+c²，∴c²=2，a²=3，
∴椭圆E的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，得$（1+3{k}^{2}）{x}^{2}+9kx+\frac{15}{4}$=0，
则△=81k²-15（1+3k²）=36k²-15＞0，即${k}^{2}＞\frac{15}{2}$，①
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{9k}{1+3{k}^{2}}$，②
∵AP⊥MN，∴k_MN•k_AP=-1，
即k=$\frac{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}+1}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=-1，∴k（y₁+y₂+2）+（x₁+x₂）=0，
又∵${y}_{1}+{y}_{2}=k{x}_{1}+\frac{3}{2}+k{x}_{2}+\frac{3}{2}$=k（x₁+x₂）+3，
∴k[k（x₁+x₂）+5]+（x₁+x₂）=0，即（k²+1）（x₁+x₂）+5k=0，③
②代入③，得-（k²+1）•$\frac{9k}{1+3{k}^{2}}$+5k=0，整理，得${k}^{2}=\frac{2}{3}$＞$\frac{5}{12}$，满足①，
解得k=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归思想．