Question

3．如图，等边三角形OAB的边长为8$\sqrt{3}$，且三个顶点均在抛物线E：y²=2px（p＞0）上，O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：A、B两点关于x轴对称；
（Ⅱ）求抛物线E的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）根据|OA|=|OB|可得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．由于A，B都在抛物线上进而满足y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，整理可得（x₂-x₁）（x₁+x₂+2p）=0．根据x₁、x₂与p同号可知x₁+x₂+2p≠0进而可得x₁=x₂．根据抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠AOx=30°，进而根据抛物线和直线方程求得点A的坐标，利用等边三角形OAB的边长为8$\sqrt{3}$，可得p，即可求抛物线E的方程．

解答 （Ⅰ）证明：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵|OA|=|OB|，∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．
又∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴x₂²-x₁²+2p（x₂-x₁）=0，
即（x₂-x₁）（x₁+x₂+2p）=0．
又∵x₁、x₂与p同号，∴x₁+x₂+2p≠0．
∴x₂-x₁=0，即x₁=x₂．
由抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠AOx=30°，则y²=2px，x=6p，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，y=2$\sqrt{3}$p．
∴A（6p，2$\sqrt{3}$p），
∵等边三角形OAB的边长为8$\sqrt{3}$，
∴（6p）²+（2$\sqrt{3}$p）=（8$\sqrt{3}$）²．
∴p=2，
∴抛物线E的方程为y²=4x．

点评 本题主要考查抛物线的应用和用待定系数法求得曲线方程的问题．是高考中经常考的题目，应加强训练．