Question

14．设椭圆M的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
（1）求M的长轴长与短轴长；
（2）若椭圆N的焦点为椭圆M在y轴上的顶点，且椭圆N经过点A（-$\sqrt{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），求椭圆N的方程．

Answer 1

分析 （1）求出椭圆M的a，b，即可得到长轴长2a，短轴长2b；
（2）求出椭圆M的短轴的顶点，可设椭圆N的方程为$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0），由焦点坐标和A点满足椭圆方程，解方程可得所求．

解答 解：（1）椭圆M的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的a=3，b=$\sqrt{5}$，
可得M的长轴长为6，短轴长为2$\sqrt{5}$；
（2）由椭圆M可得y轴上的顶点为（0，±$\sqrt{5}$），
设椭圆N的方程为$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0），
由题意可得，m²-n²=5，
$\frac{9}{2{m}^{2}}$+$\frac{2}{{n}^{2}}$=1，
解得m=3，n=2，
即有椭圆N的方程为$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，注意求出椭圆的基本元素，考查方程的思想的运用，属于基础题．