Question

6．已知函数f（x）=x（x-a）（x-b）+sinx的导函数为f′（x），且曲线y=f（x）在x=0处的切线斜率为3，则a²+2b²的最小值为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率，可得ab=2，再由基本不等式计算即可得到所求最小值．

解答 解：函数f（x）=x（x-a）（x-b）+sinx的导函数为：
f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab+cosx，
y=f（x）在x=0处的导数为ab+cos0=ab+1，
由题意可得ab+1=3，即ab=2，
则a²+2b²≥2$\sqrt{2{a}^{2}{b}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
当且仅当a=$\sqrt{2}$b时取得最小值4$\sqrt{2}$．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查最值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，属于中档题．