Question

18．已知直线l：（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0．
（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；
（2）过定点M作一条直线l₁，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）直线l解析式整理后，找出恒过定点坐标，判断即可得证；
（2）由题意得到直线l₁过的两个点坐标，利用待定系数法求出解析式即可．

解答 （1）证明：直线l整理得：（2x+y+4）+m（x-2y-3）=0，
令$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=-4}\\{x-2y=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
则无论m为何实数，直线l恒过定点（-1，-2）；
（2）解：∵过定点M（-1，-2）作一条直线l₁，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，
∴直线l₁过（-2，0），（0，-4），
设直线l₁解析式为y=kx+b，
把两点坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
则直线l₁的方程为y=-2x-4，即2x+y+4=0．

点评 此题考查了待定系数法求直线方程，以及恒过定点的直线，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．