Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{24}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1内一点M（3，1），过M作一条直线l交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）若AB恰被M点平分，求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法能求出直线l的方程．
（Ⅱ）先求出直线l，与椭圆联立，得x²+2（x-2）²=24，由此利用弦长公式能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{24}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1内一点M（3，1），过M作一条直线l交椭圆于A，B两点，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{24}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{12}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{24}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，两式相减，得$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{24}+\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{12}$=0，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}•\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴${k}_{AB}•\frac{2}{6}=-\frac{1}{2}$，∴${k}_{AB}=-\frac{3}{2}$，
∴直线l的方程为3x+2y-11=0．
（Ⅱ）∵点M（3，1），过M作一条直线l交椭圆于A，B两点，直线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$，
∴直线l：y-1=x-3，即y=x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{\frac{{x}^{2}}{24}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，得x²+2（x-2）²=24，整理，得3x²-8x-16=0，
解得x=4，或x=-$\frac{4}{3}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+1}|4-（-\frac{4}{3}）|$=$\frac{16}{3}\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线方程的求法，考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式、点差法的合理运用．