Question

3．如图，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A₁，A₂，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F，且A₂B∥OP，|FA₂|=$\sqrt{10}$+$\sqrt{5}$，过A₂作x轴的垂线l，点M是l上任意一点，A₁M交椭圆于点N，则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=（　　）

• A． 10
• B． 5
• C． 15
• D． 随点M在直线l上的位置变化而变化

Answer 1

分析 由F的坐标，求得P的坐标，运用两直线平行的条件：斜率相等，可得b=c，再由条件可得a=$\sqrt{10}$，b=c=$\sqrt{5}$，求得椭圆方程，设出M的坐标，设出直线MN的方程，联立椭圆方程，消去y，由韦达定理可得N的横坐标，进而得到N的纵坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．

解答 解：由F（-c，0），可得P（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
A₂（a，0），B（0，b），即有k_OP=${k}_{{A}_{2}B}$，
可得-$\frac{{b}^{2}}{ac}$=-$\frac{b}{a}$，即有b=c，a=$\sqrt{2}$c，
|FA₂|=a+c=$\sqrt{10}$+$\sqrt{5}$，
解得a=$\sqrt{10}$，b=c=$\sqrt{5}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
设M（$\sqrt{10}$，t），A₁（-$\sqrt{10}$，0），
即有直线A₁M：y=$\frac{t}{2\sqrt{10}}$（x+$\sqrt{10}$），
代入椭圆方程x²+2y²=10，
可得（20+t²）x²+2$\sqrt{10}$t²x+10t²-200=0，
（-$\sqrt{10}$）•x_N=$\frac{10{t}^{2}-200}{20+{t}^{2}}$，
可得x_N=$\frac{（20-{t}^{2}）\sqrt{10}}{20+{t}^{2}}$，
y_N=$\frac{t}{2\sqrt{10}}$（x_N+$\sqrt{10}$）=$\frac{20t}{20+{t}^{2}}$，
则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\sqrt{10}$•$\frac{（20-{t}^{2}）\sqrt{10}}{20+{t}^{2}}$+t•$\frac{20t}{20+{t}^{2}}$
=$\frac{200+10t}{20+{t}^{2}}$=10．
故选：A．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，考查椭圆的方程和性质，以及直线的方程的运用，以及联立直线和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．