Question

20．已知点M（-$\sqrt{3}$，0），N（$\sqrt{3}$，0），若椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1存在点P使|PM|-|PN|=2$\sqrt{2}$，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]

Answer 1

分析 由已知得椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1（x≥$\sqrt{2}$）有交点，由此能求出椭圆C的离心率的取值范围．

解答 解：∵M（-$\sqrt{3}$，0），N（$\sqrt{3}$，0），椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1存在点P使|PM|-|PN|=2$\sqrt{2}$，
∴椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1（x≥$\sqrt{2}$）有交点，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}=1，（x≥\sqrt{2}）}\end{array}\right.$，得x²=$\frac{4{a}^{2}}{2+{a}^{2}}$，
∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1（x≥$\sqrt{2}$）有交点，
∴x²=$\frac{4{a}^{2}}{2+{a}^{2}}$≥2，解得a$≥\sqrt{2}$，
∵c=$\sqrt{a-1}$，∴$e=\frac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{a}}$≥$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜e＜1，∴e的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
故选：C．

点评 本题考查椭圆离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线、椭圆性质的合理运用．