Question

2．已知直线过点M（-3，0），且倾斜角为30°，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-2，0），离心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（Ⅰ）求直线l和椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：直线l和椭圆C有两个交点；
（Ⅲ）设直线l和椭圆C的两个交点为A，B，求证：以线段AB为直径的圆经过点F₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线l倾斜角为30°，直线l过点M（-3，0），能求出直线l的方程；由椭圆的焦点坐标和离心率求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）直线与椭圆联立，得2x²+6x+3=0．由此利用根的判别式能证明直线l和椭圆C有两个交点．
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理推导出F₁A⊥F₁B，由此能证明以线段AB为直径的圆经过点F₁．

解答 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由直线l倾斜角为30°，
知直线l的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，又直线l过点M（-3，0），
得直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+3），即x-$\sqrt{3}y+3$=0．
∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-2，0），离心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴由题意知，c=2，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，得a=$\sqrt{6}$，
∴b²=6-4=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．（5分）
证明：（Ⅱ）由方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+3）}\end{array}\right.$，得2x²+6x+3=0．
△=6²-4×2×3=12＞0，
∴直线l和椭圆C有两个交点．（10分）
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-3，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{3}{2}$．
∵${k}_{{F}_{1}A}•{k}_{{F}_{1}B}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=$\frac{\frac{1}{3}（{x}_{1}+3）（{x}_{2}+3）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}{3[{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4]}$=-1，
∴F₁A⊥F₁B，
∴以线段AB为直径的圆经过点F₁．（14分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆有两个交点的证明，考查以线段AB为直径的圆经过点F₁的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线方程等知识点的合理运用．