Question

7．椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1中，以点M（1，$\frac{1}{2}$）为中点的弦所在直线方程是x+2y-2=0．

Answer 1

分析 判断M在椭圆内，设弦AB的端点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），代入椭圆方程，运用点差法，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，再由点斜式方程，即可得到所求方程．

解答 解：由M点代入椭圆方程可得，$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$＜1，
即M在椭圆内，则直线与椭圆相交．
设弦AB的端点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
即有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+y₁²=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+y₂²=1，
两式相减可得，$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}$+（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
由中点坐标公式可得，x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，
代入上式，可得k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{1}{2}$，
即有弦所在的直线方程为y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1），
即为x+2y-2=0．
故答案为：x+2y-2=0．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，考查点差法求中点弦方程，同时考查直线的斜率和中点坐标公式的运用，属于中档题．