Question

4．（A类题）设f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，其中e为自然底数．
（Ⅰ）若f（m）=2，求实数m的值；
（Ⅱ）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（Ⅲ）判断f（x）的反函数f^-1（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）令f（m）=2列出方程，转化为二次函数解出；
（2）将函数式子变形，用y表示出x，然后互换变量的符号得出反函数；
（3）先判断反函数的定义域，再计算f^-1（-x）+f^-1（x）．

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$=2得：e^2m-4e^m-1=0，解得e^m=2+$\sqrt{5}$或e^m=2-$\sqrt{5}$（舍）．
∴m=ln（2+$\sqrt{5}$）．
（Ⅱ）由y=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$得：e^2x-2ye^x-1=0，解得e^x=y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$，∴x=ln（y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$）．
∴f^-1（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（x∈R）．
（Ⅲ）f^-1（-x）+f^-1（x）=ln（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=ln1=0．
∴f^-1（x）为奇函数．

点评 本题考查了函数值的计算，反函数的求法，函数奇偶性的判断，属于基础题．