Question

19．已知函数f（x）=lnx-2x．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）若a＞0时，不等式f（x）≥-ax²+ax-2在x∈[$\frac{1}{e}$，1]（e为自然对数的底数e≈2.71828）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可得出结论．
（2）把f（x）的解析式代入f（x）≥-ax²+ax-2，利用参数分离分得到a≤$\frac{lnx-2x+2}{x-{x}^{2}}$，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和最值，求出函数在[$\frac{1}{e}$，1]上的最大值，即可得到结论．

解答 解：（1）∵函数的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-2=$\frac{1-2x}{x}$=0⇒x=$\frac{1}{2}$．
又∵x＞0，
∴0＜x＜$\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，则f（x）为增函数；
x＞$\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0，的f（x）为减函数．
当x=$\frac{1}{2}$时，函数取得极大值，同时也是最大值，此时最大值为f（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{2}$-2×$\frac{1}{2}$=-ln2-1．
（2）当a＞0时，不等式f（x）≥-ax²+ax-2在x∈[$\frac{1}{e}$，1]上恒成立，
等价为a≤$\frac{lnx-2x+2}{x-{x}^{2}}$在x∈[$\frac{1}{e}$，1]上恒成立，
令g（x）=$\frac{lnx-2x+2}{x-{x}^{2}}$，
则g′（x）=$\frac{（2x-1）（lnx-x+1）}{（x-{x}^{2}）^{2}}$，
设h（x）=lnx-x+1，h′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$＞0，则y=lnx-x+1在在[$\frac{1}{e}$，1]上为增函数，
∴h（x）＜h（1）=0，
由g′（x）=0得x=$\frac{1}{2}$，
由g′（x）＞0得$\frac{1}{e}$≤x＜$\frac{1}{2}$，此时g（x）为增函数，
由g′（x）＜0得$\frac{1}{2}$＜x≤1，此时g（x）为减函数，
∴当x=$\frac{1}{2}$时，函数g（x）取得最大值g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=4-4ln2，
当x=1时，g（1）→1，
当x=$\frac{1}{e}$时，g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{ln\frac{1}{e}-\frac{2}{e}+2}{\frac{1}{e}-\frac{1}{{e}^{2}}}$=$\frac{{e}^{2}-2e}{e-1}$＞1，
则0＜a≤1，
综上，满足不等式f（x）≥-ax²+ax-2在x∈[$\frac{1}{e}$，1]上恒成立的实数a的取值范围是0＜a≤1．

点评 本题主要考查函数最值的求解以及不等式恒成立问题，利用函数单调性和导数之间的关系，以及参数分离法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．