Question

9．对称轴为坐标轴的椭圆与的焦点F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（ $\sqrt{3}$，0），P为椭圆上任意一点，满足|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l：y=kx+$\frac{1}{2}$与椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，O到直线PQ的距离为$\frac{1}{\sqrt{5}}$，求S_△OPQ的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），由已知求出$a=2，c=\sqrt{3}$，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+4kx-3=0，由此利用根的判别式、等比数列性质、点到直线距离公式，结合已知条件能求出S_△OPQ．

解答 解：（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
∵|PF₁|+|PF₁|=4，F₂（$\sqrt{3}$，0），
∴$a=2，c=\sqrt{3}$，
∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）由题意设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，∴（4k²+1）x²+4kx-3=0，
∴△=16k²+12（4k²+1）＞0恒成立，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4k}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=-$\frac{3}{4{k}^{2}+1}$，
∵OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
∴k²=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
又${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}+\frac{1}{2}）（k{x}_{2}+\frac{1}{2}）$=$\frac{1-16{k}^{2}}{4（4{k}^{2}+1）}$，
∴k²=$\frac{\frac{1-16{k}^{2}}{4（4{k}^{2}+1）}}{-\frac{3}{4{k}^{2}+1}}$，
∴${k}^{2}=\frac{1}{4}$，即k=$±\frac{1}{2}$，
∴|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{35}}{2}$，
又O到直线PQ的距离为d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴${S}_{△POQ}=\frac{1}{2}|PQ|•d$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题考查椭圆方程、三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、等比数列性质、点到直线距离公式的合理运用．