Question

16．设命题p：x²-4ax+3a²＜0（其中a＞0，x∈R），命题q：-x²+5x-6≥0，x∈R．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入，分别求出p，q为真时的x的范围，取交集即可；
（2）解出关于p的不等式，￢p是￢q的充分不必要条件结合集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）当a=1时，由x²-4x+3＜0，得1＜x＜3，…（1分）
即命题p为真时有1＜x＜3．
命题q为真时，2≤x≤3…（2分）
由p∧q为真命题知，p与q同时为真命题，则有2≤x＜3．
即实数x的取值范围是[2，3）…（4分）
（2）由x²-4ax+3a²＜0，得（x-3a）（x-a）＜0．
又a＞0，所以a＜x＜3a，…（6分）
由￢p是￢q的充分不必要条件知，q是p的充分不必要条件．
则有{2≤x≤3}?{x|a＜x＜3a}…（8分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{3a＞3}\end{array}\right.$解得1＜a＜2．
即实数a的取值范围是（1，2）…（10分）

点评 本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，是一道基础题．