Question

5．下列命题：
①在一个2×2列联表中，由计算得k²=6.679，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．
②随机变量X服从正态分布N（1，2），则P（X＜0）=P（x＞2）；
③若二项式${（{x+\frac{2}{x^2}}）^n}$的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中x^-4的系数是40
④连掷两次骰子得到的点数分别为m，n，记向量$\overrightarrow{a}$=（m，n）与向量$\overrightarrow{b}$=（1，-1）的夹角为θ，则θ∈（0，$\frac{π}{2}$]的概率是$\frac{7}{12}$．
⑤若（x-2）⁵=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀，则a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=31；
其中正确命题的序号为①②④⑤．

Answer 1

分析 ①利用独立性检查的性质进行判断．
②利用正态分布的对称性进行判断．
③根据二项式定理的内容进行判断．
④利用古典概型的概率公式进行判断．
⑤利用赋值法结合二项式定理进行判断．

解答 解：①在一个2×2列联表中，由计算得K²=6.679＞6.535，∴有99%的把握确认这两个变量间有关系，正确，
②随机变量X服从正态分布N（1，2），则图象关于x=1对称，则P（X＜0）=P（x＞2）；正确，
③若二项式${（{x+\frac{2}{x^2}}）^n}$的展开式中所有项的系数之和为243，
则令x=1，得到（1+2）ⁿ=243，即3ⁿ=243，解得n=5，
∴展开式的通项为T_r+1=${C}_{5}^{r}{x}^{5-r}（\frac{2}{{x}^{2}}）^{r}={2}^{r}{C}_{5}^{r}{x}^{5-3r}$，
令5-3r=-4，解得r=3，
∴x^-4的系数为2³C${\;}_{5}^{3}$=80．则展开式中x^-4的系数是80，故③错误，
④试验发生包含的所有事件数6×6=36个，
∵m＞0，n＞0，
∴$\overrightarrow{a}$=（m，n）与$\overrightarrow{b}$=（1，-1）不可能同向．
∴夹角θ≠0．
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$]，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≥0，∴m-n≥0，
即m≥n．当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1；
当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1．
∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1=21个
∴概率P=$\frac{21}{36}$=$\frac{7}{12}$．
则θ∈（0，$\frac{π}{2}$]的概率是$\frac{7}{12}$．故③正确，
⑤若（x-2）⁵=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀，令x=0，得a₀=-2⁵=-32，
令x=1得（1-2）⁵=a₅+a₄+a₃+a₂+a₁+a₀=-1，则a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=32-1=31；故⑤正确，
故答案为：①②④⑤

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及二项式定理，独立性检验以及古典概型的概率计算，正态分布，综合性较强，内容较多．