Question

1．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈[1，3）时，有$f（x）≤\frac{1}{8}{（x+2）^2}$成立．
（1）证明：f（2）=2；
（2）若f（-2）=0，求f（x）的表达式；
（3）在题（2）的条件下设g（x）=f（x）-$\frac{mx}{2}$，x∈[0，+∞），若g（x）图象上的点都位于直线y=$\frac{1}{4}$的上方，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=2，求得f（2）≥2，且f（2）≤2，即可得证；
（2）由f（-2）=0，f（2）=2，求得b=$\frac{1}{2}$，4a+c=1即c=1-4a，再由二次不等式恒成立的条件为a＞0，判别式非正，即可得到a，c，进而得到解析式；
（3）g（x）=f（x）-$\frac{mx}{2}$=$\frac{1}{8}$（x+2）²-$\frac{mx}{2}$，讨论x=0，x＞0，不等式恒成立，注意运用参数分离和基本不等式求得最小值，即可得到m的范围．

解答 解：（1）证明：由题意可得f（2）≥2，且f（2）≤$\frac{1}{8}$（2+2）²=2，
即有f（2）=2；
（2）由f（-2）=0，可得4a-2b+c=0，
f（2）=2，即为4a+2b+c=2，
两式相减可得，b=$\frac{1}{2}$，4a+c=1即c=1-4a，
f（x）=ax²+$\frac{1}{2}$x+1-4a，
对任意实数x，都有f（x）≥x，即为
ax²-$\frac{1}{2}$x+1-4a≥0恒成立，即有a＞0，△=$\frac{1}{4}$-4a（1-4a）≤0，
即有（8a-1）²≤0，即有a=$\frac{1}{8}$，c=$\frac{1}{2}$，
则f（x）=$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$；
（3）g（x）=f（x）-$\frac{mx}{2}$=$\frac{1}{8}$（x+2）²-$\frac{mx}{2}$，
当x=0时，g（0）=$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{4}$成立；
当x＞0时，$\frac{1}{8}$（x+2）²-$\frac{mx}{2}$＞$\frac{1}{4}$，
即有4m＜$\frac{{x}^{2}+4x+2}{x}$=x+$\frac{2}{x}$+4，
由x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=2$\sqrt{2}$，当且仅当x=$\sqrt{2}$时，取得最小值．
即有4m＜2$\sqrt{2}$+4，
解得m＜1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
综上可得，m的范围是（-∞，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用二次不等式恒成立的条件，同时考查不等式恒成立的解法，注意运用参数分离和基本不等式，属于中档题．