Question

14．已知抛物线y²=2px的焦点为F，准线方程是x=-1．
（I）求此抛物线的方程；
（Ⅱ）设点M在此抛物线上，且|MF|=3，若O为坐标原点，求△OFM的面积．

Answer 1

分析 （I）利用准线方程是x=-1，求此抛物线的方程；
（Ⅱ）设点M在此抛物线上，且|MF|=3，利用抛物线的定义求出M的坐标，即可求△OFM的面积．

解答 解：（Ⅰ）因为抛物线的准线方程为x=-1，
所以$\frac{p}{2}=1$…（2分）
得p=2…（4分）
所以，抛物线的方程为 y²=4x…（5分）
（Ⅱ）设M（x₀，y₀），因为点M（x₀，y₀）在抛物线上，且|MF|=3，
由抛物线定义知|MF|=x₀+$\frac{p}{2}$=3…（8分）
得x₀=2…（10分）
由M（2，y₀）在抛物线上，满足抛物线的方程为y²=4x知y₀=±2$\sqrt{2}$…（12分）
所以△OMP的面积为$\frac{1}{2}|OF|$|y₀|=$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．…（14分）

点评 本题考查抛物线的方程与定义，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．