Question

5．已知函数f（x）=$\frac{m}{x}$+lnx+x，g（x）=x³-3x．
（I）若m=2，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若对于任意的s∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在t∈[$\frac{1}{2}$，2]有f（s）≤g（t），求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将m=2代入函数f（x）的表达式，求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）对于任意的s∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在t∈[$\frac{1}{2}$，2]有f（s）≤g（t），?g（t）_max≥f（s）_max．求出f（s）在s∈[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值，利用导数可得g（t）_max=g（2），解出即可．

解答 解：（Ⅰ）m=2时，f（x）=$\frac{2}{x}$+lnx+x，f′（x）=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）_极小值=f（1）=3；
（Ⅱ）对于任意的s∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在t∈[$\frac{1}{2}$，2]有f（s）≤g（t），?g（t）_max≥f（s）_max．
由（Ⅰ）得：f（s）在[$\frac{1}{2}$，1）递减，在（1，2]递增，
而f（$\frac{1}{2}$）=2m+ln$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，f（2）=$\frac{m}{2}$+ln2+2，
f（$\frac{1}{2}$）-f（2）=$\frac{3}{2}$m-2ln2-$\frac{3}{2}$，
令f（$\frac{1}{2}$）-f（2）=0，解得：m=$\frac{4}{3}$ln2+1，
∴m＞$\frac{4}{3}$ln2+1时，f（$\frac{1}{2}$）＞f（2），
m＜$\frac{4}{3}$ln2+1时，f（$\frac{1}{2}$）＜f（2），
f（s）_max={f（$\frac{1}{2}$）或f（2）}，
g（t）=t³-3t，g′（t）=3t²-3，
令g′（t）＞0，解得：t＞1，令g′（t）＜0，解得：t＜1，
∴g（t）在[$\frac{1}{2}$，1）递减，在（1，2]递增，
而g（$\frac{1}{2}$）=-1，g（2）=2，∴g（t）在[$\frac{1}{2}$，2]的最大值是2，
∴m＞$\frac{4}{3}$ln2+1时，2＞2m+ln$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，解得：m＜$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{2}$ln2，
m＜$\frac{4}{3}$ln2+1时，2＞$\frac{m}{2}$+ln2+2，解得：m＜-2ln2，
经检验，m=-2ln2符合题意，
综上，m∈（-∞，-2ln2]∪（$\frac{4}{3}$ln2+1，$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{2}$ln2）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道中档题．