Question

15．已知f（x）=$\frac{x-a}{{{x^2}+1}}$是奇函数，g（x）=x²+bx+1为偶函数．
（1）求a，b的值；
（2）对任意x∈R不等式2f（x）g（x）＜g（x）-m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系进行求解即可．
（2）求出函数f（x），g（x）的表达式，将不等式进行化简，利用参数分离法转化为求函数的最值即可得到结论．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{x-a}{{{x^2}+1}}$是奇函数，且函数的定义域为R，
∴f（0）=0，即f（0）=-a=0，
∴a=0
又g（x）=x²+bx+1是偶函数，
∴g（-x）=g（x），
即x²-bx+1=x²+bx+1，
则-b=b，∴b=0．
则a=0，b=0．
（2）由（1）知$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}，g（x）={x^2}+1$．
由2f（x）g（x）＜g（x）-m
得$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$•（x²+1）＜x²+1-m，
即2x＜x²+1-m，
则m＜x²-2x+1对任意x∈R恒成立，
又x²-2x+1=（x-1）²≥0．
∴m＜0．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数奇偶性的性质求出a，b的值，以及函数f（x）和g（x）的表达式，利用参数分离法进行求函数的最值是解决本题的关键．