Question

17．若函数f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{a}{2}$x²+x+1在区间（$\frac{1}{3}$，4）上有极值点，则实数a的取值范围是（2，$\frac{17}{4}$）．

Answer 1

分析 求导f′（x）；得到f′（x）=0，（$\frac{1}{3}$，4）有解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{a}{2}$x²+x+1，
∴f′（x）=x²-ax+1，
∴x²-ax+1=0有两个解，
则△=a²-4＞0；
故a＞2或a＜-2；
函数f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{a}{2}$x²+x+1在区间（$\frac{1}{3}$，4）上有极值点可化为x²-ax+1=0在区间（$\frac{1}{3}$，4）有解，
①若x²-ax+1=0在区间（$\frac{1}{3}$，4）有两个解，
则满足f′（$\frac{1}{3}$）＞0且f′（4）＞0，
即$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{3}$a+1＞0且16-4a+1＞0，
故a＜$\frac{10}{3}$且a＜$\frac{17}{4}$；
故2＜a＜$\frac{10}{3}$；
②若x²-ax+1=0在区间（$\frac{1}{3}$，4）内只有1个解，
则满足f′（$\frac{1}{3}$）f′（4）＜0，
即（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{3}$a+1）（16-4a+1）＜0，
即（$\frac{10}{9}$-$\frac{1}{3}$a）（17-4a）＜0，
则（a-$\frac{10}{3}$）（a-$\frac{17}{4}$）＜0，
则$\frac{10}{3}$＜a＜$\frac{17}{4}$；
当a=$\frac{10}{3}$时，f′（x）=x²-$\frac{10}{3}$x+1=$\frac{1}{3}$（x-3）（3x-1），
由f′（x）=0得x=3或x=$\frac{1}{3}$，
此时当x=$\frac{1}{3}$时，函数f（x）取得极值，
综上所述，2＜a＜$\frac{17}{4}$．
故答案为：（2，$\frac{17}{4}$）

点评 本题主要考查导数的应用，利用函数极值和导数的关系进行求解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．