Question

2．已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴的长为4，离心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C在第一象限的-点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B．求证：直线AB的斜率为定值．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），由长轴的长为4，离心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由椭圆$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$，得P（1，$\sqrt{2}$），设PA的直线方程为y-$\sqrt{2}$=k（x-1），与椭圆联立，得（2+k²）x²+2k（$\sqrt{2}-k$）x+（$\sqrt{2}-k$）²-4=0，设A（x_A，x_B），B（x_B，y_B），求出x_A，同理，求出x_B，由此能证明直线AB的斜率为定值．

解答 解：（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，
∴设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
∵长轴的长为4，离心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{2a=4}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}$=1．
证明：（2）由椭圆$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$，得P（1，$\sqrt{2}$），
由题意知两直线PA、PB的斜率必存在，设PA的斜率为k，
则PA的直线方程为y-$\sqrt{2}$=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-\sqrt{2}=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（2+k²）x²+2k（$\sqrt{2}-k$）x+（$\sqrt{2}-k$）²-4=0，
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），则x_P=1，x_A=$\frac{{k}^{2}-2\sqrt{2}k-2}{2+{k}^{2}}$，
同理，得${x}_{B}=\frac{{k}^{2}+2\sqrt{2}k-2}{2+{k}^{2}}$，
则x_B-x_A=$\frac{4\sqrt{2}k}{2+{k}^{2}}$，y_B-y_A=-k（x_B-1）-k（x_A-1）=$\frac{8k}{2+{k}^{2}}$，
∴直线AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{A}-{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$=$\sqrt{2}$为定值．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理的合理运用．