Question

12．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且短轴长为2，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线l：y=kx+$\sqrt{2}$与椭圆交于A、B两点，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{3}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）短轴的长求得b，进而根据离心率求得a和c的关系，则a和b的关系可求得，最后根据b求得a，则椭圆的方程可得；
（2）设出A，B的坐标，把直线与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，由直线方程和韦达定理，可得y₁y₂，进而根据斜率的数量积的坐标表示和$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{3}$得k的关系式，解方程可得k的值．

解答 解：（1）短轴长2b=2，即b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又a²=b²+c²，所以a=$\sqrt{2}$，b=1，
所以椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）由直线l的方程为y=kx+$\sqrt{2}$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去y得，（1+2k²）x²+4$\sqrt{2}$kx+2=0，
由直线与椭圆有两个不同的交点，
即有△＞0，即32k²-8（1+2k²）＞0，
解得k²＞$\frac{1}{2}$，
又x₁+x₂=-$\frac{4\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+$\sqrt{2}$）（kx₂+$\sqrt{2}$）=k²x₁x₂+$\sqrt{2}$k（x₁+x₂）+2=$\frac{2-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{4-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
解得k=±1．

点评 不同考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查直线的斜率的求法，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题．