Question

10．如图，已知F₁，F₂是双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$的下，上焦点，过F₂点作以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆的切线，P为切点，若切线段PF₂被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由已知F₂（0，c），直线PF₂：y-c=-$\sqrt{3}x$，过F₂点作以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆的方程为x²+（y+c）²=c²，联立$\left\{\begin{array}{l}{y-c=-\sqrt{3}x}\\{{x}^{2}+（y+c）^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，求出P，从而求出M，由此能求出双曲线的离心率．

解答 解：∵F₁，F₂是双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$的下，上焦点，过F₂点作以F₁为圆心，
|OF₁|为半径的圆的切线，P为切点，若切线段PF₂被一条渐近线平分，
∴F₂（0，c），|F₁F₂|=2c，|PF₁|=c，∴直线PF₂的斜率k=-$\sqrt{3}$，
∴直线PF₂：y-c=-$\sqrt{3}x$，过F₂点作以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆的方程为x²+（y+c）²=c²，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-c=-\sqrt{3}x}\\{{x}^{2}+（y+c）^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，得P（$\frac{\sqrt{3}}{2}c$，-$\frac{1}{2}$c），
∴M（$\frac{\sqrt{3}}{4}c$，$\frac{1}{4}c$），
∵切线段PF₂被一条渐近线平分，∴M（$\frac{\sqrt{3}}{4}c$，$\frac{1}{4}c$）在渐近线y=$\frac{a}{b}x$上，
∴$\frac{1}{4}c=\frac{a}{b}×\frac{\sqrt{3}}{4}c$，∴b=$\sqrt{3}a$，∴c²=a²+b²=4a²，c=2a，
∴双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}=2$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．