Question

18．已知定义在（-∞，3]上单调减函数f（x）使得f（1+sin²x）≤f（a-2cosx）对一切实数x都成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法转化为求函数的最值，结合一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：∵定义在（-∞，3]上单调减函数f（x）使得f（1+sin²x）≤f（a-2cosx）对一切实数x都成立，
∴等价为1+sin²x≥a-2cosx，
即a≤1+sin²x+2cosx恒成立，且a-2cosx≤3，即a≤3+2cosx，则a≤1，
设h（x）=1+sin²x+2cosx，则h（x）=1+sin²x+2cosx=2-cos²x+2cosx=-（cosx-1）²+1，
∵-1≤cosx≤1，∴-3≤h（x）≤1，
则a≤-3，∵a≤1，
∴a≤-3．
即实数a的取值范围是（-∞，-3]

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数单调性的性质将不等式进行转化，结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键．