Question

19．已知两点$A（\sqrt{3}，0），C（-\sqrt{3}，0）$，若一动点Q在运动过程中总满足|AQ|+|CQ|=4，O为坐标原点．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．
（2）设过点B（0，-2）的直线与E交于M，N两点，当△OMN的面积为1时，求此直线的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，由此能求出点Q的轨迹E的方程．
（2）设直线为：y=kx-2，将y=kx-2代入椭圆方程，（1+4k²）x²-16kx+12=0．由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出直线方程．

解答 解：（1）由题意知|PQ|=|AQ|，又∵|CP|=|CQ|+|PQ|=4…（2分）
∴|CQ|+|AQ|=4》|AC|=2$\sqrt{3}$，
由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，…（4分）
2a=4，即a=2，2c=2$\sqrt{3}$，即c=$\sqrt{3}$，
∴b²=4-3=1，
∴点Q的轨迹E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．…（6分）
（2）由题意知所求的直线不可能垂直于x轴，所以可设直线为：y=kx-2，…（7分）
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
将y=kx-2代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1中得$（1+4k²）x²-$16kx+12=0，△＞0得{k^2}＞\frac{3}{4}$．
∴${x_1}+{x_2}=\frac{16k}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{12}{{1+4{k^2}}}$…（8分）
$又∵{S_{△OMN}}=\frac{1}{2}•|{OB}|•$|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{4{k}^{2}-3}}{1+4{k}^{2}}$=1．…（10分）
解得k=$±\frac{\sqrt{7}}{2}$，满足△＞0．∴$所求的直线方程为y=±\frac{{\sqrt{7}}}{2}x$-2．…（12分）

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判断式、韦达定理、弦长公式的合理运用．