Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其右焦点F（1，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x²+y²=$\frac{5}{9}$内，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆右焦点F（1，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）联立方程$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\\{x-y+m=0}\end{array}}\right.$，得：3x²+4mx+2m²-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、椭圆性质，结合已知条件能求出m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其右焦点F（1，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}⇒a=\sqrt{2}c$，又c=1，故a=$\sqrt{2}$，b=1，（3分）
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$（4分）
（Ⅱ）联立方程$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\\{x-y+m=0}\end{array}}\right.$，
消去y整理得：3x²+4mx+2m²-2=0，
则△=16m²-12（2m²-2）=8（-m²+3）＞0，解得-$\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$，（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}$，y₁+y₂=x₁+x₂+2m=-$\frac{4m}{3}+2m$=$\frac{2m}{3}$，
即AB的中点为（-$\frac{2m}{3}，\frac{m}{3}$），（9分）
又AB的中点不在圆${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{5}{9}$内，∴$\frac{4{m}^{2}}{9}+\frac{{m}^{2}}{9}=\frac{5{m}^{2}}{9}≥\frac{5}{9}$，
解得m≤-1或m≥1．
综上可知，-$\sqrt{3}＜m≤-1$或1$≤m＜\sqrt{3}$．（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、椭圆性质的合理运用．