Question

【题目】某学校在一块圆心角为，半径等于的扇形空旷地域（如图）组织学生进行野外生存训练，已知在O，A，B处分别有50名，150名，100名学生，现要在道路OB（包括O，B两点）上设置集合地点P，要求所有学生沿最短路径到P点集合，则所有学生行进的最短总路程为_____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

设，以为变量，利用正弦定理求得每条路线的长度，然后建立总路程关于的函数表达式，利用导数求出其最小值，求解时注意讨论和重合的情况．

连接，当集合地点在处时，，

所有学生行进的总路程为．

当集合地点不在处时，设，则．

在中，由正弦定理可得，

所以，，所以．

设所有学生行进的总路程为，

则

．

令，则，令，得，

又，在上单调递减，

所以根据复合函数的单调性知，当时，单调递减；

当时，单调递增．

所以当时，取得最小值，

此时．

故答案为：.