Question

【题目】在正三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，点E在线段AB上，且AE＝2EB，过点E作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

构造以PA，PB，PC为棱长的正方体PADB﹣CFGH，且该正方体棱长为，以B为原点，BP为x轴，BD为y轴，BH为z轴，建立空间直角坐标系，则该正三棱锥外接球球心为AH中点O，半径为R，求出EO，当所得截面圆面积取最小值时截面圆的圆心为E，从而当所得截面圆面积取最小值时截面圆的半径为r，由此能求出所得截面圆面积的最小值.

∵在正三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，

∴构造以PA，PB，PC为棱长的正方体PADB﹣CFGH，且该正方体棱长为，

以B为原点，BP为x轴，BD为y轴，BH为z轴，建立空间直角坐标系，

则该正三棱锥外接球球心为AH中点O，半径为R，

∵点E在线段AB上，且AE＝2EB，

∴E（，，0），O（），

EO，

过点E作该正三棱锥外接球的截面，当所得截面圆面积取最小值时截面圆的圆心为E，

∴当所得截面圆面积取最小值时截面圆的半径为：

r，

∴过点E作该正三棱锥外接球的截面，

则所得截面圆面积的最小值为S＝πr2.

故选：A.