Question

【题目】已知函数．

(1)当时，求证：；

(2)讨论函数在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）时，函数在上没有零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.

【解析】

（1）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最小值，证明最小值大于.（2）先利用导数得到的最小值，然后分类讨论，根据零点存在定理，得到每种情况下的零点情况.

（1）当时，，

令，则.

令，得.

当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以是的极小值点，也是最小值点，

即

故当时，成立.

（2） ，由，得.

所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以是函数的极小值点，也是最小值点，

即.

当，即时，在上没有零点.

当，即时，在上只有一个零点.

当，即时，因为，

所以在内只有一个零点；

由（1）得，令，得，

所以，于是在内有一个零点；

因此，当时，在上有两个零点.

综上，时，函数在上没有零点；

当时，函数在上有一个零点；

当时，函数在上有两个零点.