【题目】已知函数,
,
为
的导函数.
(1)若,求
的值;
(2)讨论的单调性;
(3)若恰有一个零点,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)见解析;(3)
或
【解析】
(1)利用列方程,解方程求得
的值.
(2)求得函数的导函数
,对
分成
等四种情况,分类讨论
的单调区间.
(3)结合(1)求得的的单调区间,判断出
的单调区间,结合
的取值范围、零点的存在性定理进行分类讨论,由此求得
的取值范围.
(1)
由,得
,得
;
(2)
①当时,令
,得
,令
,得
,
所以在
上单调递增,在
上单调递减;
②当时,令
,得
,
,
i)当时,
,所以
在
上单调递增;
ii)当时,令
,得
或
;令
,得
,
所以在
和
单调递增,在
单调递减;
iii)当时,令
,得
或
;令
,得
,
所以在
和
单调递增,在
单调递减;
综上:①当时,
在
上单调递增;在
单调递减;
②i)当时,
在
上单调递增;
ii)当时,
在
和
单调递增,在
单调递减;
iii)当时,
在
和
单调递增,在
单调递减;
(3)①当时,由(2)知,
在
单调递增,在
单调递减,所以
在
单调递增,在
单调递减,又因为
,所以
恰有一个零点
,符合题意;
②i)当时,
在
单调递增,所以
在
单调递增,又
,所以
在恰有一个零点,符合题意;
ii)当时,
在
单调递增,在
单调递减,在
单调递增,
所以在
单调递增,在
单调递减,在
单调递增,
因为 ,所以
是函数
的一个零点,且
,
当时,取
且
,
则,
所以,所以
在
恰有一个零点,
所以在区间
有两个零点,不合题意;
iii)当时,
在
单调递增,在
单调递减,在
单调递增,所以
在
单调递增,在
单调递减,在
单调递增,
又因为,所以
是函数
的一个零点,且
,
又因为,所以
,
所以在区间有两个零点,不合题意;
综上的取值范围为
或
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
,设
是椭圆
上任一点,从原点
向圆
:
作两条切线,分别交椭圆于点
,
.
(1)若直线,
互相垂直,且圆心落在第一象限,求圆
的圆心坐标;
(2)若直线,
的斜率都存在,并记为
,
.
①求证:;
②试问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q>0,S2=2a2-2,S3=a4-2,数列{an}满足a2=4b1,nbn+1-(n+1)bn=n2+n,(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明数列{}为等差数列;
(3)设数列{cn}的通项公式为:Cn=,其前n项和为Tn,求T2n.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能.近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下,某地光伏发电装机量急剧上涨,如下表:
某位同学分别用两种模型:①②
进行拟合,得到相应的回归方程并进行残差分析,残差图如下(注:残差等于
):
经过计算得,
.
(1)根据残差图,比较模型①,②的拟合效果,应该选择哪个模型?并简要说明理由.
(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程,并预测该地区2020年新增光伏装机量是多少.(在计算回归系数时精确到0.01)
附:归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线
:
,过抛物线焦点
且与
轴垂直的直线与抛物线相交于
、
两点,且
的周长为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线过焦点
且与抛物线
相交于
、
两点,过点
、
分别作抛物线
的切线
、
,切线
与
相交于点
,求:
的值.
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【题目】已知点在椭圆
上,
为坐标原点,直线
的斜率与直线
的斜率乘积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)不经过点的直线
(
且
)与椭圆
交于
,
两点,
关于原点的对称点为
(与点
不重合),直线
,
与
轴分别交于两点
,
,求证:
.
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【题目】如图所示,已知点,过点
作直线
、
与圆
:
和抛物线
:
都相切.
(1)求抛物线的两切线的方程;
(2)设抛物线的焦点为,过点
的直线与抛物线相交于
、
两点,与抛物线的准线交于点
(其中点
靠近点
),且
,求
与
的面积之比.
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