【题目】已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q>0,S2=2a2-2,S3=a4-2,数列{an}满足a2=4b1,nbn+1-(n+1)bn=n2+n,(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明数列{}为等差数列;
(3)设数列{cn}的通项公式为:Cn=,其前n项和为Tn,求T2n.
【答案】(1) ;(2)证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)由等比数列的基本量法求解;
(2)求得,再证
为常数即可;
(3)先并项,设,然后有
,用错位相减法计算.
(1)由于等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q>0,S2=2a2-2,S3=a4-2,
所以S3-S2=a4-2a2=a3,
整理得,
由于a2≠0,
所以q2-q-2=0,由于q>0,
解得q=2.
由于a1+a2=2a2-2,解得a1=2,
所以.
(2)数列{an}满足a2=4b1,解得b1=1,
由于nbn+1-(n+1)bn=n2+n,
所以(常数).
所以数列数列{}是以1为首项1为公差的等差数列.
(3)由于数列数列{}是以1为首项1为公差的等差数列.
所以,解得
由于数列{cn}的通项公式为:Cn=,
所以令=
=(4n-1)
4n-1.
所以①,
4②,
①-②得:-(4n-1)
4n,
整理得,
故:.
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【题目】抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,且过点(4,4),焦点为F.
(1)求抛物线的焦点坐标和标准方程;
(2)P是抛物线上一动点,M是PF的中点,求M的轨迹方程.
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【题目】某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照,
,
,
,
分成5组,制成如图所示频率分直方图.
(1)求图中的值及这组数据的众数;
(2)已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为
,若在满意度评分值为
的人中随机抽取2人进行座谈,求2人均为男生的概率.
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【题目】已知在平面直角坐标系中,动点
与两定点
连线的斜率之积为
,记点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若过点的直线
与曲线
交于
两点,曲线
上是否存在点
使得四边形
为平行四边形?若存在,求直线
的方程,若不存在,说明理由.
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【题目】设是圆
上的任意一点,
是过点
且与
轴垂直的直线,
是直线
与
轴的交点,点
在直线
上,且满足
.当点
在圆
上运动时,记点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)已知点,过
的直线
交曲线
于
两点,交直线
于点
.判定直线
的斜率是否依次构成等差数列?并说明理由.
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【题目】某比赛为甲、乙两名运动员制订下列发球规则:规则一:投掷一枚硬币,出现正面向上,甲发球,否则乙发球;规则二:从装有个红球与
个黑球的布袋中随机地取出
个球,如果同色,甲发球,否则乙发球;规则三:从装有
个红球与
个黑球的布袋中随机地取出
个球,如果同色,甲发球,否则乙发球.
其中对甲、乙公平的规则是( )
A.规则一和规则二B.规则一和规则三C.规则二和规则三D.规则二
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