【题目】已知函数,曲线
在
处的切线交
轴于点
.
(1)求的值;
(2)若对于内的任意两个数
,
,当
时,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)求出原函数的导函数,得到f′(1),求出f(1),可得切线方程,代入(0,)即可求得m值;
(2)把(1)中求得的m值代入函数解析式,设x1>x2,把对于(1,+∞)内的任意两个数x1,x2,a(x1+x2)转化为
,设g(x)=f(x)﹣ax2,则g(x)=x2lnx
x3+x﹣ax2 在(1,+∞)上为减函数,可得g′(x)=2xlnx+x﹣x2+1﹣2ax≤0对x>1恒成立,分离参数a,再由导数求最值得答案.
解:(1)由,得
,
,
,
∴曲线在
处的切线方程为
,
则,解得
;
(2),
不妨设,对于
内的任意两个数
,
,
,
即有,
设,则
在
上为减函数.
则对
恒成立.
可得在
上恒成立.
令,
,
则在
上单调递减,
∴.
∴,即
.
∴实数的取值范围是
.
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【题目】给出下列命题:
①原命题为真,它的否命题为假;
②原命题为真,它的逆命题不一定为真;
③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;
④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真;
⑤“若,则
的解集为
”的逆命题.
其中真命题是___________.(把你认为正确命题的序号都填在横线上)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,椭圆
经过点
,离心率为
. 已知过点
的直线
与椭圆
交于
两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)试问轴上是否存在定点
,使得
为定值.若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某工厂产生的废气经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为:(
为正常数,
为原污染物数量).若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%,那么要能够按规定排放废气,至少还需要过滤( )
A. 小时B.
小时C. 5小时D.
小时
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