Question

【题目】已知函数是上的偶函数．

（1）求值；

（2）解的不等式的解集；

（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a＝1；（2）（﹣2，2）；（3）．

【解析】

（1）根据函数的奇偶性求出a的值即可；

（2）设2x＝t，则不等式即为，再解关于x的不等式即可；

（3）问题转化为m在（0，+∞）恒成立，设t＝2x，（t＞1），则m在t＞1恒成立，从而求出m的范围即可．

（1）∵f（x）为偶函数，

∴f（﹣x）＝f（x）恒成立，

∴f（﹣x）﹣f（x）＝0恒成立，

∴，恒成立，

即恒成立，

，

∵a＞0，∴a＝1，∴a＝1；

（2）由（1）知，

设2x＝t，则不等式即为，

∴，

所以原不等式解集为（﹣2，2）；

（3）f（x）＝2x+2﹣x﹣1，

mf（x）≥2﹣x﹣m，

即m在（0，+∞）恒成立，

设t＝2x，（t＞1），则m在t＞1恒成立，

又y在t＞1单调递减，得

故．