Question

【题目】已知函数.

(1)讨论的单调性;

(2)用表示中的最大值，若函数只有一个零点,求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 在上单调递减,在上单调递增，.

(2)

【解析】

(1)先求函数的导函数，再讨论时, 时,函数的单调性即可；

(2)分别讨论函数在当，当时，当时,函数零点个数，然后结合函数在的零点个数即可得解.

解:(1)函数的定义域为,且.

当时,对恒成立,所以在上单调递增.

当时,令,得,

当时,;当时,.

所以在上单调递减,在上单调递增，.

(2)①当时, ,从而,所以在上无零点，

②当时, ,

若,所以是的零点;

若,所以不是的零点.

③当时, ,所以在上的零点个数只需要考虑在上的零点个数.

在上的零点个数在上实根的个数在上实根的个数.

令函数,则,所以在上单调递减,在上单调递增；又，，，

当或时，在上无零点;当或时, 在上有唯一零点， 时, 在上有两个零点，

综上可得：当时，在上有无零点, 当时，在上有1个零点, 当时，在上有2个零点, 当时，在上有1个零点,

则在上有唯一零点, 的取值范围为.