【题目】已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,直线
与椭圆
在第一象限内的交点是
,点
在
轴上的射影恰好是椭圆
的右焦点
,椭圆
另一个焦点是
,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线过点
,且与椭圆
交于
两点,求
的内切圆面积的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)利用将点的横坐标
代入直线
,求得
点的坐标,代入
的坐标运算,求得
的值,也即求得
点的坐标,将
的坐标代入椭圆,结合
,解方程组求得
的值,进而求得椭圆方程.(2)设出直线
的方程,联立直线的方程和椭圆的方程并写出根与系数关系,由此求得
的面积,利用导数求得面积的最大值,并由三角形与内切圆有关的面积公式,求得内切圆的半径的最大值.
(1)设椭圆方程为,点
在直线
上,且点
在
轴上的射影恰好是椭圆
的右焦点
,则点
.
∵
∴
又
解得
∴椭圆方程为
(2)由(1)知,,过点
的直线与椭圆
交于
两点,
则的周长为
,又
(
为三角形内切圆半径),
∴当的面积最大时,其内切圆面积最大.
设直线的方程为:
,
,则
消去得
,
∴
∴
令,则
,∴
令,
当时,
,
在
上单调递增,
∴,当
时取等号,
即当时,
的面积最大值为3,
结合,得
的最大值为
,
∴内切圆面积的最大值为.
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【题目】从某电子商务平台随机抽取了1000位网上购物者(年消费都达到2000元),并对他们的年龄进行了调查,统计情况如下表所示:
年龄 | ||||||
人数 | 100 | 150 | 400 | 200 | 100 | 50 |
该电子商务平台将年龄在的人群定义为消费主力军,其它年龄段定义为消费潜力军.
(1)若该电子商务平台共10万位网上购物者,试估计消费主力军的人数;
(2)为了鼓励消费潜力军消费,该平台决定对年消费达到2000元的购物者发放代金券,消费主力军每人发放100元,消费潜力军每人发放200元.现采用分层抽样(按消费主力军与消费潜力军分层)的方式从参与调查的1000位网上购物者中抽取10人,并在这10人中随机抽取3人进行回访,求这3人获得代金券总金额(单位:元)的分布列及数学期望.
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【题目】在直角坐标系 中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求直线和曲线
的普通方程;
(2)已知点,且直线
和曲线
交于
两点,求
的值
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【题目】在某次活动中,有5名幸运之星.这5名幸运之星可获得、
两种奖品中的一种,并规定:每个人通过抛掷一枚质地均为的骰子决定自己最终获得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点),抛掷点数小于3的获得
奖品,抛掷点数不小于3的获得
奖品.
(1)求这5名幸运之星中获得奖品的人数大于获得
奖品的人数的概率;
(2)设、
分别为获得
、
两种奖品的人数,并记
,求随机变量
的分布列及数学期望.
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【题目】已知球是正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的射影为底面中心)
的外接球,
,
,点
在线段
上,且
,过点
作球
的截面,则所得截面圆面积的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点
,直线
,设圆
的半径为1, 圆心在
上.
(1)若圆心也在直线
上,过点
作圆
的切线,求切线方程;
(2)若圆上存在点
,使
,求圆心
的横坐标
的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
,如图所示,斜率为
且不过原点的直线
交椭圆
于两点
,线段
的中点为
,射线
交椭圆
于点
,交直线
于点
.
(1)求的最小值;
(2)若,求证:直线
过定点.
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【题目】某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛,采用抽签法决定演讲顺序,在“学生甲和乙都不是第一个出场,且甲不是最后一个出场”的前提下,学生丙第一个出场的概率为__________.
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