Question

关于函数f（x）=2（sinx-cosx）cosx的四个结论：
P₁：最大值为

2

；
P₂：最小正周期为π；
P₃：单调递增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3

8

π]，k∈Z；
P₄：图象的对称中心为(

k

2

π+

π

8

，-1)，k∈Z．
其中正确的有（　　）

A．1 个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：利用三角恒等变换将f（x）=2（sinx-cosx）cosx转化为f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1，利用正弦函数的性质对P₁、P₂、P₃、P₄四个选项逐一判断即可．

解答：解：∵f（x）=2（sinx-cosx）cosx
=sin2x-（1+cos2x）
=

2

（

2

2

sin2x-

2

2

cos2x）-1
=

2

sin（2x-

π

4

）-1，
∴f（x）的最大值为

2

-1，故P₁错误；
其最小正周期T=

2π

2

=π，故P₂正确；
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
得：kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

（k∈Z），
∴f（x）=2（sinx-cosx）cosx的单调递增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]（k∈Z），故P₃正确；
由2x-

π

4

=kπ（k∈Z）得x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z），
∴f（x）的图象的对称中心为（

kπ

2

+

π

8

，-1）（k∈Z），故P₄正确．
综上所述，正确的有3个．
故选：C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查三角恒等变换与正弦函数的性质，属于中档题．