Question

已知函数f（x）的定义域是R，对任意x∈R，f（x+2）-f（x）=0，当x∈[-1，1）时，f（x）=x．关于函数f（x）给出下列四个命题：
①函数f（x）是奇函数；
②函数f（x）是周期函数；
③函数f（x）的全部零点为x=2k，k∈Z；
④当x∈[-3，3）时，函数g(x)=

1

x

的图象与函数f（x）的图象有且只有三个公共点．
其中全部真命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：①由题意得对任意x∈R，f（x+2）=f（x），所以f（x）是周期函数，且周期是2．所以f（1）=f（1-2）=f（-1），即f（-1）=f（1）．
②由①得f（x）是周期函数，且周期是2．故②正确．
③由题意得f（0）=0．因为（x）是周期函数，且周期是2，所以f（x）=0的全部解为x=2k．
④当x∈[-1，1）时，解方程f（x）=g(x)=

1

x

得x=-1或x=1（舍去）．同理根据函数的周期求出函数在[1，3）与[-3，-1）时的解析式列方程求解可得答案．

解答：解：①因为对任意x∈R，f（x+2）-f（x）=0，所以对任意x∈R，f（x+2）=f（x），所以f（x）是周期函数，且周期是2．
所以f（1）=f（1-2）=f（-1），即f（-1）=f（1），
所以函数f（x）不是奇函数．故①错误．
②由①得f（x）是周期函数，且周期是2．故②正确．
③因为当x∈[-1，1）时，f（x）=x，所以f（0）=0．又因为（x）是周期函数，且周期是2，所以函数f（x）的全部零点为x=2k．故③正确．
④x∈[-1，1）时，f（x）=x，令f（x）=g(x)=

1

x

解得x=-1或x=1（舍去）．当x∈[1，3）时f（x）=x-2=g(x)=

1

x

解得x=1+

2

或x=1-

2

（舍去）．当x∈[-3，-1）时，f（x）=x+2=g(x)=

1

x

解得x=-1-

2

或x=-1+

2

（舍去）．故④正确．
故答案为②③④．

点评：解决此类题目的关键是对于分段函数的奇偶性，周期性，单调性等性质要熟练掌握，在高考中也是重点考查的范围之一．