Question

关于函数f（x）=2^x-2^-x有下列三个结论；①函数f（x）的值域为R；②函数f（x）是R上的增函数；③对任意的x∈R都有f（x）+f（-x）=0成立．其中正确命题的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：令t=2^x，则t＞0，则y=t-

1

t

（，t＞0），利用导数可判断函数y=t+

1

t

在（0，+∞）上的单调性；结合函数在R上单调递增可得当t=1时，y=0，当t＞1时，y＞0，0＜t＜1，y＜0，即函数的值域为R；f（x）+f（-x）=2^x-2^-x+2^-x-2^x=0，

解答：解：令t=2^x，则t＞0，则y=t-

1

t

（，t＞0），y′=1+

1

t2

＞0在（0，+∞）上恒成立，即函数y=t+

1

t

在（0，+∞）上单调递增，故②正确
结合函数在R上单调递增可得：当t=1时，y=0，当t＞1时，y＞0，0＜t＜1，y＜0，即函数的值域为R，故①正确
∵f（x）+f（-x）=2^x-2^-x+2^-x-2^x=0，故③正确
故答案为①②③

点评：本题主要考查了形如y=x-

1

x

的函数的单调性、值域、奇偶性的判断，属于基础试题