Question

已知f（x）是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的a，b∈R有f（ab）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f（2）=2，求使得

f(2-n)

n

＞-

1

8

(n∈N*)成立的最小正整数n的值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的a，b∈R有f（ab）=af（b）+bf（a）．令a=b=0，能求出f（0）；令a=b=1，能求出f（1）．
（2）由f（x）的定义域为R，令a=-1，b=x，则f（-x）=-f（x）+xf（-1），再令a=-1，b=-1，得f（-1）=0，由此能得到f（x）是奇函数．
（3）当ab≠0时，

f(ab)

ab

=

f(a)

a

+

f(b)

b

，令g(x)=

f(x)

x

，则g（ab）=g（a）+g（b），由此入手，能够求出符合题意的最小正整数n的值．

解答：解：（1）令a=b=0，则f（0）=0；令a=b=1，则f（1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0…（3分）
（2）∵f（x）的定义域为R，令a=-1，b=x，则f（-x）=-f（x）+xf（-1），
再令a=-1，b=-1，则f（1）=-f（-1）-f（-1）=-2f（-1）=0⇒f（-1）=0，
故f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数   …（7分）
（3）当ab≠0时，

f(ab)

ab

=

f(a)

a

+

f(b)

b

令g(x)=

f(x)

x

，即f（x）=xg（x），则g（ab）=g（a）+g（b）⇒g（aⁿ）=ng（a）
故f（aⁿ）=aⁿg（aⁿ）=naⁿg（a）=na^n-1•ag（a）=na^n-1f（a）⇒

f(an)

n

=an-1f(a)，
故

f(2-n)

n

=(

1

2

)n-1f(

1

2

)，∵f(1)=f(2×

1

2

)=2f(

1

2

)+

1

2

f(2)=2f(

1

2

)+1=0，∴f(

1

2

)=-

1

2

，
由

f(2-n)

n

＞-

1

8

(n∈N*)?(

1

2

)n-1f(

1

2

)＞-

1

8

?(

1

2

)n＜

1

8

?n＞3
故符合题意的最小正整数n的值为4．   …（12分）

点评：本题考查函数值的求法，考查函数奇偶性的判断与证明，考查满足条件的最小正整数的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．