Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：
（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．

Answer 1

解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴CD⊥PA
∵矩形ABCD中，CD⊥AD，PA、AD是平面PDC内的相交直线
∴CD⊥平面PDA
∵PD?平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形
∵Rt△PAD中，AD=2，PA=2，
∴PD==2
∴三角形PCD的面积S=×PD×DC=2
（2）[解法一]
如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1）
∴=（1，，1），=（0，2，0），
设与夹角为θ，则cosθ===
∴θ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为
[解法二]
取PB的中点F，连接AF、EF、AC，
∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点
∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角
∵Rt△PAC中，PC==4
∴AE=PC=4
∵在△AEF中，EF=BC=，AF=PB=
∴AF²+EF²=AE²，△AEF是以F为直角顶点的等腰Rt△
∴∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为
分析：（1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△PAD中，利用勾股定理得到PD=2，最后得到三角形PCD的面积S；
（2）[解法一]建立如图空间直角坐标系，可得B、C、E各点的坐标，从而=（1，，1），=（0，2，0），利用空间向量数量积的公式，得到与夹角θ满足：cosθ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为；
[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF，△PBC中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．
点评：本题根据一个特殊的四棱锥，求异面直线所成的角和证明线面垂直，着重考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质等知识，属于中档题．