Question

8．将曲线C：（x-2）²+y²=4图象上每一点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，再向左平移1个单位，得到曲线C₁的图象，若曲线C₁上存在点P，使得点P到点$F（0，\sqrt{3}）$的距离与点P到直线$l：y=\sqrt{2}x+2\sqrt{3}$的距离相等，则点P的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）或（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）．

Answer 1

分析 根据对应关系求出曲线C₁的方程，根据条件列方程解出P点坐标．

解答 解：设P（x，y），则P′（2（x+1），y）在曲线C：（x-2）²+y²=4图象上，
∴4x²+y²=4，
∴曲线C₁的轨迹方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
设P点坐标为（cosθ，2sinθ），
则|PF|=$\sqrt{co{s}^{2}θ+（2sinθ-\sqrt{3}）^{2}}$，P到直线l的距离为$\frac{|\sqrt{2}cosθ-2sinθ+2\sqrt{3}|}{\sqrt{3}}$．
∴$\sqrt{co{s}^{2}θ+（2sinθ-\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{|\sqrt{2}cosθ-2sinθ+2\sqrt{3}|}{\sqrt{3}}$，
解得cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinθ=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$或cosθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴P点坐标为$（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}）$或$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}）$．
故答案为$（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}）$或$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}）$．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，距离公式的应用，属于中档题．