Question

20．已知函数f（x）=4cos（ωx-$\frac{π}{6}$）sin（π-ωx）-sin（2ωx-$\frac{π}{2}$），其中ω＞0．
（1）求函数f（x）的值域
（2）若y=f（x）在区间[-$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$]为增函数，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式，化简f（x）=$\sqrt{3}$sin2ωx+1，即可求得函数f（x）的值域；
（2）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2ωx≤\frac{π}{2}+2kπx$，可求得f（x）的单调递增区间为$[\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{4ω}，\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{4ω}]（k∈Z）$，依题意，$[-\frac{3π}{2}，\frac{π}{2}]$⊆$[\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{4ω}，\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{4ω}]$，列式可解得ω∈（0，$\frac{1}{6}$]，从而可得ω的最大值．

解答 解：（1）$f（x）=4（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinωx+\frac{1}{2}cosωx）sinωx+cos2ωx=\sqrt{3}sin2ωx+1∈[1-\sqrt{3}，1+\sqrt{3}]$；
（2）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2ωx≤\frac{π}{2}+2kπ⇒\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{4ω}≤x≤\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{4ω}$
则f（x）的单调递增区间为$[\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{4ω}，\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{4ω}]（k∈Z）$，
故$[-\frac{3π}{2}，\frac{π}{2}]$是$[\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{4ω}，\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{4ω}]$子区间，
故$\left\{\begin{array}{l}\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{4ω}≤-\frac{3}{2}π\\ \frac{kπ}{ω}+\frac{π}{4ω}≥\frac{π}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}k-\frac{1}{4}≤-\frac{3}{2}ω\\ k+\frac{1}{4}≥\frac{1}{2}ω\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}ω≤\frac{1}{6}-\frac{2}{3}k\\ ω≤\frac{1}{2}+2k\end{array}\right.⇒0＜ω≤\frac{1}{6}$，
故ω的最大值为$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查三角函数的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．