Question

已知F₁，F₂是椭圆C的左右焦点，过F₁的直线l与椭圆C交与A，B两点．若|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：4：5，则椭圆C的离心率是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆的定义可得△ABF₂的周长为4a=12，即a=3．再分别在△ABF₂中，在△AF₁F₂中由余弦定理，即可得到c=

5

，再由离心率公式，即可得到．

解答： 解：不妨设|AB|=3，|BF₂|=4，|AF₂|=5，
由椭圆的定义可得|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，△ABF₂的周长为12，则4a=12，即a=3．
则|AF₁|=2a-5=1，且|F₁F₂|=2c，
在△ABF₂中，运用余弦定理得cosA=

32+52-42

2×3×5

=

3

5

，
在△AF₁F₂中，cosA=

1+25-4c2

2×1×5

=

3

5

，
解得c=

5

，
则椭圆的离心率为e=

c

a

=

5

3

，
故答案为：

5

3

．

点评：本题考查椭圆的定义、性质的运用，考查解三角形的知识：余弦定理，考查运算能力，属于中档题．