Question

函数f（x）=（mx+1）（lnx-1）．
（1）若m=1，求曲线y=f（x）在x=1的切线方程；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围；
（3）设点P（m，0），A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））满足lnx₁•lnx₂=ln（x₁•x₂）（x₁≠x₂），
判断是否存在实数m，使得∠APB为直角？说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：转化思想,导数的综合应用

分析：（1）通过m=1，求出取得坐标，切线的斜率，然后求曲线y=f（x）在x=1的切线方程；
（2）求出函数的对数，通过函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，导数大于等于0．构造新函数，通过新函数的值域，求解实数m的取值范围；
（3）设点P（m，0），A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））满足lnx₁•lnx₂=ln（x₁•x₂）（x₁≠x₂），化简向量数量积的表达式，推出数量积是否为0，即可判断是否存在实数m，使得∠APB为直角．

解答： （本题满分16分）
解：（1）m=1，函数f（x）=（x+1）（lnx-1）．切点坐标（1，-2），
f′（x）=（lnx-1）+（x+1）

1

x

．f′（1）=1，
∴切线方程为：y+2=x-1．
即：x-y-3=0．  …（3分）
（2）f′(x)=

mxlnx+1

x

≥0在（0，+∞）恒成立，…（5分）
设h（x）=xlnx，h（x）值域[-e^-1，+∞），
即mt+1≥0在t∈[-e^-1，+∞）恒成立，

m≥0 -e-1m+1≥0

，0≤m≤e．…（10分）
（3）

PA

=(x1-m，f(x1))，

PB

=(x2-m，f(x2))，

PA

•

PB

=(x1-m)(x2-m)+f(x1)f(x2)=（x₁-m）（x₂-m）+（mx₁+1）（mx₂+1）（lnx₁-1）（lnx₂-1）=（x₁-m）（x₂-m）+（mx₁+1）（mx₂+1）=（m²+1）（x₁x₂+1）＞0，
∴不存在实数m，使得∠APB为直角．…（16分）

点评：本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数恒成立，考查转化思想的应用．