Question

已知函数f（x）=mx²+lnx-2x在x=1处的切线与直线x-4y+1=0垂直，则函数f（x）的单调增区间为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，由f（x）在x=1处的切线与直线x-4y+1=0垂直求得m的值，然后代入导函数，由导函数大于0求得原函数的单调增区间．

解答： 解：∵f（x）=mx²+lnx-2x，
∴f′(x)=2mx+

1

x

-2，
f′（1）=2m-1，
∵函数f（x）在x=1处的切线与直线x-4y+1=0垂直，
∴2m-1=-4，得m=-

3

2

．
即f′(x)=-3x+

1

x

-2=

-3x2-2x+1

x

（x＞0），
由-3x²-2x+1＞0，解得-1＜x＜

1

3

，
∴0＜x＜

1

3

．
则函数f（x）的单调增区间为(0，

1

3

)．
故答案为：(0，

1

3

)．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．