Question

已知区域D_n：

x＞0 y≥0 y≤-2nx+6n

（n∈N^*）内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）的个数为a_n，则

9

a1a2

+

9

a2a3

+…+

9

a8a9

+

9

a9a10

=（　　）

• A、

  10

  21

• B、

  20

  21

• C、

  1

  7

• D、

  2

  7

Answer 1

考点：数列的求和,简单线性规划的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：由不等式组得0＜x≤3，则平面区域为D_n内的整点为点（3，0）、直线y=-2n（x-3）与x=1和x=2上，求出a₁的值，由直线y=-2n（x-3）与x=1和x=2交点纵坐标分别为y₁=4n和y₂=2n，在x=1和x=2上的整点个数分别为4n+1和2n+1，得到数列的通项公式，判断出数列{a_n}是等差数列，利用裂项相消法求式子的和．

解答： 解：根据题意，由x＞0，y≥0，且y≤-2nx+6n，
得-2n（x-3）≥y≥0，即0＜x≤3，
所以平面区域为D_n内的整点为：
点（3，0）、以及直线y=-2n（x-3）与直线x=1和x=2的交点，
当n=1时，直线y=-2n（x-3）=-2x+6，
当x=1时，y=4；当x=2时，y=2，从而可得a₁=9，
由于平面区域为D_n内的整点为点（3，0）与在直线x=1和x=2上，
且直线y=-2n（x-3）与直线x=1和x=2交点纵坐标分别为y₁=4n和y₂=2n，
所以D_n内在直线x=1和x=2上的整点个数分别为4n+1和2n+1，
则a_n=4n+1+2n+1+1=6n+3              
所以a_n+1-a_n=（6n+0）-（6n+3）=6，
即数列{a_n}是以9为首项，6为公差等差数列，
所以a_n=9+（n-1）×6=6n+3，
则

1

anan+1

=

1

(6n+3)(6n+9)

=

1

6

(

1

6n+3

-

1

6n+9

)，
所以

9

a1a2

+

9

a2a3

+…+

9

a8a9

+

9

a9a10

=

3

2

[（

1

9

-

1

15

）+（

1

15

-

1

21

）+…+（

1

57

-

1

63

）]
=

3

2

(

1

9

-

1

63

)=

1

7

，
故选：C．

点评：本题考查线性规划，裂项相消法求数列的和，求数列的前n项和，首先要求出数列的通项，利用通项的特点选择合适的求和方法，考查学生分析解决问题的能力．