Question

已知函数f(x)=

(1)若h(x)=f(x)-g(x)存在单调增区间，求a的取值范围；

(2)是否存在实数a>0，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a的取值范围？若不存在，请说明理由。

Answer 1

（Ⅰ） a的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞) （Ⅱ）a的取值范围是(1, )

解析:

（1）由已知，得h(x)=  且x>0, 

        则hˊ(x)=ax+2-=,   （2分）

       ∵函数h(x)存在单调递增区间,

∴hˊ(x)≥0有解, 即不等式ax²+2x-1≥0有x>0的解.  （3分）

当a<0时, y=ax²+2x-1的图象为开口向下的抛物线, 要使ax²+2x-1≥0总有x>0的解, 则方程ax²+2x-1=0至少有一个不重复正根, 而方程ax²+2x-1=0总有两个不相等的根时, 则必定是两个不相等的正根. 故只需Δ=4+4a>0, 即a>-1. 即-1<a<0（5分）

当a>0 时, y= ax²+2x-1的图象为开口向上的抛物线,  ax²+2x-1≥0 一定有x>0的解.     （6分）           

综上, a的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞)   （7分）

  （2）方程

即为

      等价于方程ax²+(1-2a)x-lnx=0 .    （8分）

      设H(x)= ax²+(1-2a)x-lnx, 于是原方程在区间()内根的问题, 转化为函数H(x)在区间()内的零点问题.     （9分） 

     Hˊ(x)=2ax+(1-2a)-=  （10分）

   当x∈(0, 1)时, Hˊ(x)<0,  H(x)是减函数；  

当x∈(1, +∞)时, Hˊ(x)>0,  H(x)是增函数；  

若H(x)在()内有且只有两个不相等的零点, 只须

       （13分）

解得, 所以a的取值范围是(1, )        （14分）