Question

【题目】已知函数 .

（1）求函数的单调递增区间；

（2）讨论函数零点的个数.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）当或时，函数有一个零点，当且时，函数有两个零点.

【解析】试题分析：

（1）分类讨论：当时，的定义域为，，令得：，，则的单调递增区间为.当时，的定义域为，，当时，的单调增区间为，当时， .的单调递增区间为和.

（2）由（1）知当时，只有一个零点，

当时，在处取极大值，处取极小值.，，即时，函数只有一个零点，

当时，令在单调递减，在单调递增，（当且仅当时，等号成立），则：

时，在有两个零点.时，在有两个零点.时，函数在有一个零点.故当或时，函数有一个零点，当且时，函数有两个零点.

试题解析：

（1）当时，的定义域为，

，令得：

，，

∴的单调递增区间为.

当时，的定义域为， ，

当即时，的单调增区间为，

当，即时， .

的单调递增区间为和.

（2）由（1）知当时，在内单调递增，，

故只有一个零点，

当时，在处取极大值，处取极小值.

由知，而，则，

，

∵，∴，∴，

∴当时，函数只有一个零点，

当时，

令，

，在单调递减，在单调递增，

，∴（当且仅当时，等号成立），

i）时，

，，，

由（1）函数单调性知，，所以函数在存在零点，

∴在有两个零点.

ii）时，

，，，

同理可得函数在存在零点，

∴在有两个零点.

iii）时，

，函数在有一个零点.

综上所述：

当或时，函数有一个零点，

当且时，函数有两个零点.