Question

【题目】已知椭圆: 上的任一点到焦点的距离最大值为3，离心率为 ，

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若为曲线上两点， 为坐标原点，直线 的斜率分别为，且，求直线被圆截得弦长的最大值及此时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）椭圆上的任一点到焦点的距离最大值为，结合离心率的值即可得方程；

（2）设， ，直线与圆： 的交点为，①当直线轴时， ，易得，②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，与椭圆联立得得， ，结合韦达定理可解得， 即可得最值.

试题解析：

（1）椭圆上的任一点到焦点的距离最大值为,又离心率为,

解得： ，进而得.

椭圆的方程为：

（2）设， ，直线与圆： 的交点为．

①当直线轴时， ，

由得或

此时可求得．

②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，

联立消得，

，

， ，

所以 ，

由得， ，

此时．

圆： 的圆心到直线的距离为，

所以，

得，

所以当时， 最大，最大值为，

综合①②知，直线被圆： 截得弦长的最大值为，

此时，直线的方程为

点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．